向心力的6个公式 | 向心力的分析

坐过山车或者荡秋千的时候,感觉整个身体都快飞出去了。我们正在做圆周运动,在那种情况下,很深刻的体会到向心力的可怕之处,感觉心脏都要跳出来了。这节课就来一起来学习什么是向心力?向心力如何表达?以及向心力在生活中有着怎样的应用?向心力的定义

坐过山车或者荡秋千的时候,感觉整个身体都快飞出去了。我们正在做圆周运动,在那种情况下,很深刻的体会到向心力的可怕之处,感觉心脏都要跳出来了。

这节课就来一起来学习什么是向心力?向心力如何表达?以及向心力在生活中有着怎样的应用?

向心力的定义。顾名思义,“向心力”F向:做圆周运动的物体,受到的指向圆心的力。指向圆心简称“向心”。(向日葵)

一个圆周运动的轨迹,在其上标出4等分点A,B,C,D.曲线运动的速度沿着轨迹的切线方向,所以这4个点的方向是水平向右,竖直向下,水平向左,竖直向上的。下面请4位同学结合定义(指向圆心的力)在黑板上标出这4个点受到的向心力的方向。通过观察,我们发现这4个力都是指向圆心的——“不忘初心牢记使命”。向心力就像邻居家wifi一样非常善变,除此之外还有什么共同点吗?(此处应有垂足)哎!它们与速度都垂直。这就是向心力的第一个特征:方向始终与速度垂直,即θ=90°(waiter端盘子不做功;更深层次地,向心力还有没有其他特征呢?在本学期的第一节课曾介绍过,当力与速度垂直时,只能改变速度的什么?方向。不改变速度的大小。而夹角小于90°,速度变快;夹角大于90°,速度变慢。向心力的第二个特征:只改变速度的方向,不影响速度的大小。

向心力究竟从何而来?是你给的还是从石头里蹦出来的?肯定有个出处。所以要探究向心力的来源。举3个常见的高考模型。第一个,在数学中用平行四边形表示平面,这是一个平面,平面上有一个钉子,与钉子相连有一根绳套,绳子末端系一个小球,“弹一弹”小球,使其在水平面内做圆周运动,请问:小球受几个力?分别是什么?3个力,重力(受力分析顺序:一重二弹三摩擦),支持力,还有什么?由于小球有向外飞的趋势,绳子会绷紧从而产生一个对小球的拉力。重力支持力二力平衡,抵消为0.而拉力指向圆心,就是向心力,即T=F向

第二个例子,“圆锥摆模型”。这是一个天花板,天花板下方用绳子挂着一个小球,这样悠着小球,摆动的小球在平面内画出了一个圆,这个圆和绳是不是恰好组成了一个圆锥,叫“圆锥摆”。同样的问题:小球受几个力?分别是谁?受两个力:重力和沿绳的拉力,还有没有其他的力?没了。那这两个力都不指向圆心,谁充当向心力呢?对了,它们的合力在对角线上,是不是指向圆心?

下一个例子,跟老式的挂钟有关,大家见过没有?就是那个一个小时“蹬”响一下的挂钟。这种挂钟底下是不是一个摆?叫做“单摆”。我们模拟一下:天花板上的旋点,用绳悬挂着一个小球在平面内做摆动,它摆出来的轨迹是圆周运动的一部分,是不是一个扇形?小球受几个力?分别是谁?还是2个力,重力和拉力。拉力指向圆心,所以拉力是不是就是向心力?不完全是!把重力正交分解,分解为沿绳的分力G1和沿切线的分力G2。T和G1都是沿着半径的,二者的合力充当了单摆的向心力,即:T-G1=F向.

以上3个例子,我们发现:向心力的来源是什么?任意一个力可以充当向心力,两个力的合力可以充当向心力,一个力的分力和另外一个力的合力也可以充当向心力。所以向心力的来源很广泛,并没有什么神奇之处,在受力分析的时候需不需要把它另写出来?不需要。比方说已经分析了T,还需不需要再另外分析向心力了?不需要了,向心力就是一种按“效果”命名的力,不要再画蛇添足了。比方说:我们班的班长是***,这句话没问题。但是能不能说我们班有***和班长,就多余了;送物理课代表和任锦程一套物理卷子,任锦程得做2套物理卷子。再举个例子;能说我想吃火锅和热的东西吗?不行,因为火锅就是热的东西。这样说就冗余了。

我们知道向心力是由普通的力充当的,它的表达式是怎样的?

请一位同学上黑板默写向心加速度的6个表达式:

向心加速度如何产生?受到了一个力,而这个力就是所谓的“向心力”.根据牛顿二定律,F向=man,向心加速度的角标带n,所以向心力的角标也带n,送他们一套情侣限定皮肤。于是就得到了向心力的表达式:

F向 =

向心力的表达式是根据理论推导出来的。怎么能够保证它的正确性呢?“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。”所以通过实验验证向心力表达式的正确性(锥摆法)。一个锥摆,已知摆线的长度为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,小球在圆平面内的旋转半径为r.

两条线索——从“静力学”和“运动学”两个角度去分析。

“静力学”:受力分析,小球受重力和绳的拉力,二者的合力提供向心力。观察发现:F合=mgtanθ,小球在不停息的旋转,容易用量角器测量角θ吗?所以想办法把动态的角度定格为静态的几何特征。观察得,

所以:

“运动学”:想验证哪个表达式?其实验证哪个都是一样的,因为这6个公式可以互推。所以只要证明其中一个正确,就说明其他5个也都是正确的。那就选F向=m

论证。只要证明这个式子与上个式子相等,说明推导的向心力的表达式就是正确的;反之亦然。对比以上两式,发现:m,r是共有的,所以把它们约去,得:只要测出悬绳的长度l,小球的旋转半径r以及小球转一圈所用的周期T就可以验证表达式的正确与否了。考试问:要验证表达式最少需要测量几个物理量?分别是谁?答案是3个。分别是:l,r,T.

接下来看一个探究实验:再一次探究向心力和什么因素有关。向心力演示仪——听声音就像是手摇式拖拉机。

到现在为止,我们学的圆周运动非常特殊——“匀速圆周运动”;生活中更普遍存在的其实并不是匀速的圆周运动。比方说汽车转弯时,这个位置是30迈,下一个位置变成20迈,再一个位置变成10迈,速度大小是不是在不断变化?那这种线速度的大小在不断发生改变的圆周运动就叫做“变速圆周运动”。变速圆周运动最重要的特征是所受合外力并不指向圆心,怎么处理呢?四个字——“正交分解”:把F合分解为指向圆心的向心力Fn,和与之垂直的切向力Ft.

根据牛二,Fn会产生对应的向心加速度an;Ft会产生对应的切向加速度at.由于向心加速度与速度方向垂直,所以它可以改变速度的方向;由于切向加速度与速度都在沿切线的方向,可以改变速度的大小。我们就看到这两个加速度职能的不同了,它们各司其职。没有切向加速度,变速圆周运动就会退化为匀速圆周运动;没有向心加速度,变速圆周运动就会退化为匀变速直线运动。

更一般的,这样一条曲线,称之为“一般的曲线运动”,它的确很“一般”:轨迹既不是直线又不是圆。对于这种曲线运动,我们的解决方案是什么?还是四个字——“化繁为简”(极限与分割):用放大镜仔细看,每段弧线都可以看做圆的一部分。所以在这些地方把圆补充出来,用处理变速圆周运动的方法处理一般的曲线运动。

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